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Ⅲ- 1. 연립일차방정식

[eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍 [eqn: (a,~-1)], [eqn: (b,~2)]가 일차방정식 [eqn: (x-4)a-a(a-2y)+12=0]의 해일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

2

[eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a＊b = 3a-2b]라 하자.
연립방정식 [eqn: cases{ (x-1) ＊my=0 #(nx+1)＊(y-1)=-7 }]의 해가
[eqn: x=-1], [eqn: y=3]일 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 구하시오.

3

연립방정식 [eqn: cases{ 2x+ay=3 #bx-2ay=2 }]를 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y]가 모두 자연수일 때, 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

4

연립방정식 [eqn: {cases{2x+y=3#3x+by=2}}]의 해 [eqn: x,~y]는 연립방정식 [eqn: {cases{x+ay=10#2x-y=-1}}]의 해 [eqn: x,~y]보다 각각 [eqn: 2]만큼씩 크다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -15]	② [eqn: -11]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: 4^a over 2^a+b = 16][eqn: 9^a+b over 3^5b =243]

5

,               을 만족시키는 두 자연수
[eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: cases{ 2 over x + 1 over y =2 #4 over x - 3 over y =-1 }]

6

연립방정식              을 푸시오.

<정답 및 풀이>

Ⅲ- 1. 연립일차방정식

1 ②	2 [eqn: m = -1,~n=2]	3 [eqn: 5]	4 ⑤	5 ④

6 [eqn: x=2,~y=1]

1    ②

[eqn: x=a], [eqn: y=-1]을 [eqn: (x-4)a-a(a-2y)+12=0]에 대입하면

[eqn: (a-4)a - a(a+2)+12=0]

[eqn: a^2 - 4a- a^2 - 2a + 12=0]

[eqn: -6a+12=0]   [eqn: therefore~a=2]

따라서 주어진 일차방정식은

[eqn: 2(x-4) - 2(2-2y) +12=0]

[eqn: 2x+4y=0]   [eqn: therefore~x +2y=0]

[eqn: x+2y=0]에 [eqn: x=b], [eqn: y=2]를 대입하면

[eqn: b+ 2 times 2 =0]   [eqn: therefore~b=-4]

[eqn: therefore~a+b=-2]

2    [eqn: m=-1], [eqn: n=2]

주어진 연립방정식은

[eqn: cases{ 3(x-1)-2my =0 #3(nx+1) - 2(y-1)=-7 }], 즉 [eqn: cases{ 3x-2my-3=0& #3nx-2y+12=0 & }]

[eqn: x=-1], [eqn: y=3]을 [eqn: 3x-2my-3=0]에 대입하면

[eqn: -3-6m-3=0]   [eqn: therefore~m=-1]

[eqn: x=-1], [eqn: y=3]을 [eqn: 3nx-2y+12=0]에 대입하면

[eqn: -3n-6+12=0]   [eqn: therefore~n=2]

3    [eqn: 5]

[eqn: cases{2x+ay =3 &cdotscdots㉠# bx-2ay =2&cdots cdots㉡}]에서 [eqn: ㉠times2 +㉡]을 하면

[eqn: (4+b)x=8]   [eqn: therefore~ x = 8 over 4+b]

이때 [eqn: b]와 [eqn: x]는 모두 자연수이므로

[eqn: b = 4,~ x=1]

[eqn: x=1]을 [eqn: 2x+ay =3]에 대입하면

[eqn: 2 +ay =3]   [eqn: therefore~ay =1]

이때 [eqn: a]와 [eqn: y]는 모두 자연수이므로

[eqn: a=1,~y=1]

[eqn: therefore~a+b=5]

4    ⑤

연립방정식 [eqn: cases{x+ay =10 #2x-y =-1}]의 해를 각각 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]라 하면 연립방정식 [eqn: cases{2x+y=3 # 3x+by=2}]의 해는 [eqn: x= alpha +2], [eqn: y= beta +2]이다.

[eqn: 2x-y =-1]에 [eqn: x= alpha,~ x=beta]를 대입하면

[eqn: 2 alpha - beta =-1]	……㉠

[eqn: 2x+y =3]에 [eqn: x = alpha+2,~ y = beta+2]를 대입하면

[eqn: 2(alpha+2) + beta +2 =3]   [eqn: therefore~ 2alpha + beta =-3]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면   [eqn: alpha =-1], [eqn: beta =-1]

[eqn: x=-1], [eqn: y=-1]을 [eqn: x+ay=10]에 대입하면

[eqn: -1-a=10]   [eqn: THEREFORE `a=-11]

[eqn: x=1], [eqn: y=1]을 [eqn: 3x+by=2]에 대입하면

[eqn: 3+b=2]   [eqn: THEREFORE `b=-1]

[eqn: THEREFORE `ab=11]

5    ④

[eqn: 4^a over 2^a+b =16]에서   [eqn: 2^2a over 2^a+b = 2^4]

[eqn: 2a-(a+b) = 4]이므로   [eqn: a-b =4]	……㉠

[eqn: 9^a+b over 3^5b = 243]에서   [eqn: {3^2(a+b)} over 3^5b =3^5]

[eqn: 2(a+b)-5b =5]이므로   [eqn: 2a-3b=5]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=7,~b=3]   [eqn: therefore~ab=21]

6    [eqn: x=2,~y=1]

[eqn: 1 over x = A,~ 1 over y = B]라 하면 주어진 연립방정식은

[eqn: cases{2A+B =2 # 4A-3B =-1}]   [eqn: therefore~A = 1 over 2 ,~ B =1]

따라서 [eqn: 1 over x = 1 over 2 ,~ 1 over y = 1]이므로

[eqn: x=2,~y=1]